Question

給出以下命題
①若cosαcosβ=1，則sin（α+β）=0；
②已知直線x=m與函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=sin（

π

2

-x）的圖象分別交于M，N兩點(diǎn)，則|MN|的最大值為

2

；
③若A，B是△ABC的兩內(nèi)角，如果A＞B，則sinA＞sinB；
④若A，B是銳角△ABC的兩內(nèi)角，則sinA＞cosB．
其中正確的有（　　）個．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①由余弦函數(shù)的值域，得到cosα=cosβ=±1，sinα=sinβ=0，再由兩角和的正弦公式，即可判斷；
②運(yùn)用誘導(dǎo)公式和兩角差的正弦公式，即可求出最大值；
③由三角形的邊角關(guān)系和正弦定理，即可判斷；
④由于A，B是銳角△ABC的兩內(nèi)角，則A+B＞90°，A＞90°-B，由正弦函數(shù)的單調(diào)性和誘導(dǎo)公式，即可判斷．

解答： 解：①若cosαcosβ=1，則由|cosx|≤1，得cosα=cosβ=±1，sinα=sinβ=0，
故sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=0，即①正確；
②若直線x=m與函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=sin（

π

2

-x）的圖象分別交于M，N兩點(diǎn)，
則f（m）=sinm，g（m）=sin（

π

2

-m）=cosm，|MN|=|sinm-cosm|=

2

|sin（m-

π

4

）|≤

2

，即②正確；
③若A，B是△ABC的兩內(nèi)角，如果A＞B，則a＞b，由正弦定理得，2RsinA＞2RsinB，即
sinA＞sinB，即③正確；
④若A，B是銳角△ABC的兩內(nèi)角，則A+B＞90°，A＞90°-B，由正弦函數(shù)的單調(diào)性得，
sinA＞sin（90°-B）即sinA＞cosB，即④正確．
故選：D．

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查兩角和差的正弦公式，以及誘導(dǎo)公式和正弦定理，屬于基礎(chǔ)題．