Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x+2|+|2x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（Ⅱ）當(dāng)a＜-4時(shí)，存在x≤-2，使得f（x）-x≤4成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，去掉絕對(duì)值化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=

-3x ， x＜-2  -x+4 ， -2≤x＜1  3x ， x≥1

，由此求得函數(shù)y=f（x）的值域．
（Ⅱ）當(dāng)a＜-4時(shí)，f(x)-x=

-4x+a-2 ， x＜ a 2 -2-a ，  a 2 ≤x≤-2

，由題意可得所以4≥[f（x）-x]_min=-2-a，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x+2|+2|x-1|=

-3x ， x＜-2  -x+4 ， -2≤x＜1  3x ， x≥1

，
所以f（x）_min=f（1）=3，函數(shù)f（x）沒(méi)有最大值，
所以函數(shù)y=f（x）的值域是[3，+∞）．
（Ⅱ）當(dāng)a＜-4時(shí)，f(x)-x=

-4x+a-2 ， x＜ a 2 -2-a ，  a 2 ≤x≤-2

，
因存在x≤-2，使得f（x）-x≤4成立，
所以4≥[f（x）-x]_min=-2-a，即-6≤a＜-4，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-6，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．