Question

10．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處有極值為10，則函數(shù)在x=2處的切線斜率為17．

Answer 1

分析 對函數(shù)f（=x）求導(dǎo)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)與極值的關(guān)系進行求解．

解答 解：f′（x）=3x²+2ax+b，
由題意得：f′（1）=0，f（1）=10，
即$\left\{\begin{array}{l}{3+2a+b=0}\\{1+a+b{+a}^{2}=10}\end{array}\right.$，解得：a=4，b=-11或a=-3，b=3，
當(dāng)a=-3，b=3時，f′（x）=3（x-1）²≥0，∴在x=1處不存在極值；
當(dāng)a=4，b=-11時，f′（x）=3x²+8x-11=（3x+11）（x-1）
∴x∈（-$\frac{11}{3}$，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，∴適合
∴f（x）=x³+4x²-11x+16，
∴f′（x）=3x²+8x-11，k=f′（2）=12+16-11=17，
故答案為：17．

點評 本題主要考查了函數(shù)在某點取得極值的條件，即在該點處導(dǎo)函數(shù)值為0，是一道基礎(chǔ)題．