Question

20．已知動圓P過定點A（-3，0），且與圓B：（x-3）²+y²=64相切，點P的軌跡為曲線C．設Q為曲線C上（不在x軸上）的動點，過點A作OQ的平行線交曲線C于M，N兩點．
（1）求曲線C的方程；
（2）求△MNQ的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導出點P到兩定點A（-3，0）和B（3，0）距離之和等于定圓B的半徑，由此能求出曲線C的方程；
（2）通過MN∥OQ，知S=S_△MNQ=S_△MNO=$\frac{1}{2}$|OA|•|y₁-y₂|=$\frac{3}{2}$|y₁-y₂|，由此利用均值不等式能求出最大值．

解答 解：（1）∵動圓P過定點A（-3，0），且與圓B：（x-3）²+y²=64相切，
∴點P到兩定點A（-3，0）和B（3，0）距離之和等于定圓B的半徑，
∴|PA|+|PB|=8，
∴點P的軌跡是以A、B為焦點，半長軸為4的橢圓，
∴曲線C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），
∵Q不在x軸上，
∴設直線OQ：x=my，
∵過點A作OQ的平行線交曲線C于M，N兩點，
∴直線MN：x=my-3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-3}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1}\end{array}\right.$，消去x、整理得：
（7m²+16）y²-42my-49=0，
∴y₁+y₂=$\frac{42m}{7{m}^{2}+16}$，y₁y₂=-$\frac{49}{7{m}^{2}+16}$，
∵MN∥OQ，
∴S=S_△MNQ=S_△MNO=$\frac{1}{2}$|OA|•|y₁-y₂|=$\frac{3}{2}$|y₁-y₂|=$\frac{3}{2}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{3}{2}$•$\frac{56\sqrt{1+{m}^{2}}}{9+7（1+{m}^{2}）}$=$\frac{3×28\sqrt{1+{m}^{2}}}{9+7（1+{m}^{2}）}$=$\frac{3×28}{\frac{9}{\sqrt{1+{m}^{2}}}+7\sqrt{1+{m}^{2}}}$≤2$\sqrt{7}$，
當且僅當m²=$\frac{2}{7}$時取等號，
∴所求最大值為2$\sqrt{7}$．

點評 本題是一道關于直線與圓錐曲線的綜合題，考查曲線方程的求法，考查最大值的求法，涉及韋達定理、三角形面積公式基本不等式等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．