Question

14．函數(shù)f（x）=x²+（k-3）x+9（k∈R）在（1，5）內(nèi)有零點(diǎn)，試求k的取值范圍．

Answer 1

分析 結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分函數(shù)f（x）=x²+（k-3）x+9（k∈R）在（1，5）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)和函數(shù)f（x）=x²+（k-3）x+9（k∈R）在（1，5）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)兩種情況，求出滿足條件的k的取值范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：若函數(shù)f（x）=x²+（k-3）x+9（k∈R）在（1，5）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，
則$\left\{\begin{array}{l}△={（k-3）}^{2}-36＞0\\ 1＜-\frac{k-3}{2}＜5\\ f（1）=k+7≥0\\ f（5）=5k+19≥0\end{array}\right.$，解得：k∈（-$\frac{19}{5}$，-3），
若函數(shù)f（x）=x²+（k-3）x+9（k∈R）在（1，5）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，
則$\left\{\begin{array}{l}△={（k-3）}^{2}-36=0\\ 1＜-\frac{k-3}{2}＜5\end{array}\right.$或f（1）•f（5）＜0，
解得：k=-3，或k∈（-7，-$\frac{19}{5}$），
綜上所述，k的取值范圍為（-$\frac{19}{5}$，-3]∪（-7，-$\frac{19}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論思想，函數(shù)的零點(diǎn)，難度中檔．