【題目】已知正整數(shù)滿足,., , .對任意的,其中,表示不超過實數(shù)的最大整數(shù),表示集合中元素的個數(shù).證明:

(1);

(2).

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

顯然,為奇數(shù),為偶數(shù),其中,為歐拉函數(shù).

由歐拉定理,知對任意的,有

于是,對集合的任意子集

.①

首先證明:,且均為奇數(shù).

,知集合在數(shù)軸上關于點對稱,且.

將集合中連續(xù)的正整數(shù)稱為一段,則由的對稱性知其可分成奇數(shù)段,每段中均有一個數(shù)屬于集合,也有一個數(shù)屬于集合.

為奇數(shù),且集合關于對稱,即.

.

其次證明:對任意的,存在唯一的,使得.

考慮.

顯然,.

,則,矛盾.

兩兩不同余,其中恰有一個數(shù)模1.

,故集合中其余數(shù)可兩兩配對,每對的積模1.

從而,.

,則,且,.

再證明:中的數(shù)可兩兩配對,每對數(shù)的積模1.即證明:對任意的 ,則.

否則,不妨設,即、,,.

.

,這與矛盾.

從而,.

最后,在式①中令

.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】11個興趣班,若干學生參與(可重復參與),每個興趣班人數(shù)相同(招滿,人數(shù)未知).已知任意九個興趣班包括了全體學生,而任意八個興趣班沒有包括全體學生求學生總人數(shù)的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】桂林漓江主要景點有象鼻山、伏波山、疊彩山、蘆笛巖、七星巖、九馬畫山,小張一家人隨機從這6個景點中選取2個進行游玩,則小張一家人不去七星巖和疊彩山的概率為( .

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】甲、乙兩類水果的質量(單位:)分別服從正態(tài)分布、,其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示,則下列說法正確的是(

A.乙類水果的平均質量

B.甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右

C.甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小

D.乙類水果的質量服從的正態(tài)分布的參數(shù)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】作一個平面截正方體得到一個多邊形(包括三角形)截面,那么截面形狀可能是__________.(填上所有你認為正確的選項的序號)

①正三角形;②正方形;③菱形;④非正方形的矩形;⑤正五邊形;⑥正六邊形

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】,為三維空間中個點組成的有限集,其中任意四點不在一個平面上,將集合中的點染成白色或黑色,使得任意一個與集合至少交于四個點的球面具有這樣的性質:這些交點中恰有一半的點為白色的.證明:集合中所有的點均在一個球面上,

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知,若函數(shù)4個零點,則實數(shù)k的取值范圍是______

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)若曲線在點處的切線方程為,求的值;

(2)當時,,求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在區(qū)間內(nèi)隨機取兩個數(shù)分別記為,則使得函數(shù)有零點的概率為( )

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案