Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；

（2）當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先求導(dǎo)，再求為切線的斜率，寫出切線方程，與已知對應(yīng)相等，可求得a，b.

（Ⅱ）方法一：構(gòu)造，

問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即，

求導(dǎo)對a分類討論，將導(dǎo)數(shù)為0的根與給定區(qū)間端點比較，從而求得g(x)的最小值，解得a的范圍.

方法二：直接分離變量得恒成立，令，，求導(dǎo)求得最小值即可.

（Ⅰ）

由已知得，， 切線方程為y-a=,即y=2ax+a，所以有2a=3，b=a，

從而．

（Ⅱ）方法一：令，

問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，

即，

，

①若，則，在上單調(diào)遞減，

又，不合題意，舍去.

②若，則由及，得．

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

所以當(dāng)時，取得極小值，即為最小值，

，

由，解得

③若，在上恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，滿足題意．

綜上，的取值范圍為．

方法二：由已知得：當(dāng)時，恒成立，

問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時，

令，

則，

由及，得．

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

所以，當(dāng)時，

所以．即的取值范圍為．