Question

為豐富某企業(yè)職工的業(yè)余生活，現(xiàn)準(zhǔn)備一次聯(lián)歡晚會猜獎活動，參與者先后回答兩個相互獨立的題目A與B，正確回答A可獲得獎金a元，正確回答B(yǎng)可獲得獎金b元．活動規(guī)定；參與者可以任意選擇回答問題 順序，如果第一問題回答錯誤，則該參與者猜獎活動中止．且假設(shè)你答對問題A，B的概率分別為

1

4

，  

1

6

．
（Ⅰ）若a=100，b=200，求參與者在該次活動中先回答問題A再回答問題B所獲得金額的期望值；
（Ⅱ）若a∈[60，90]，b∈[100，200]，且只考慮獲獎金額期望值的大小，為了獲得更多的獎金，求選擇先回答題B再回答題A的概率．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）先回答A再回答B(yǎng)，參與者獲得獎金額X可取0，100，300，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出所獲得金額的期望值．
（Ⅱ）先回答A，再回答B(yǎng)，參與者獲得獎金額X可取0，a，a+b，由此求出E（X）=b×

3

24

+(a+b)×

1

24

=

4b+a

24

，再由E（X）＜E（Y），能求出為了獲得更多的獎金選擇先回答題B再回答題A的概率．

解答： 解：（Ⅰ）先回答A再回答B(yǎng)，參與者獲得獎金額X可取0，100，300，
則P（X=0）=

3

4

，P（X=100）=

1

4

×

5

6

=

5

24

，
P（X=300）=

1

4

×

1

6

=

1

24

，
∴E（X）=0×

3

4

+100×

5

24

+300×

1

24

=

100

3

．
（Ⅱ）先回答A，再回答B(yǎng)，參與者獲得獎金額X可取0，a，a+b，
P（X=0）=

5

6

，P（X=b）=

1

6

×

3

4

=

3

24

，P（X=a+b）=

1

6

×

1

4

=

1

24

，
E（X）=b×

3

24

+(a+b)×

1

24

=

4b+a

24

，
E（X）-E（Y）=

6a+b

24

-

4b+a

24

=

5b-3a

24

∴根據(jù)題意知，E（X）＜E（Y），
即5a-3b＜0，又60≤a≤90，100≤b≤200，如圖
P（選擇先回答B(yǎng)再回答A且獲得更多獎金）=1-

30×50× 1 2

30×100

=

3

4

…．（14分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的期望值的求法及應(yīng)用，解題時要認真審題，是中檔題．