Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax-1，在[0，2]]內(nèi)的最大值為g（a）．
（Ⅰ）求g（a）的表達(dá)式；
（Ⅱ）求g（a）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)f（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-a²-1的圖象的對(duì)稱軸方程為x=a，分類討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)在[0，2]]內(nèi)的最大值為g（a）．
（Ⅱ）根據(jù)g（a）的解析式，分類討論求得g（a）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-a²-1的圖象的對(duì)稱軸方程為x=a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在[0，2]上為增函數(shù)，∴最大值為f（2）=3-4a．
當(dāng)0＜a≤1，f（x）在[0，a]上為減函數(shù)，在[a，2]上為增函數(shù)，且f（2）＞f（0）．∴f（x）的最大值為f（2）=3-4a；
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，f（x）在[0，a]上為減函數(shù)，在[a，2]上為增函數(shù)，且f（0）＞f（2），∴f（x）的最大值為f（0）=-1；
當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）在[0，2]上為減函數(shù)，f（x）的最大值為f（0）=-1，
綜上所述，g(a)=

3-4a，a≤1 -1， a＞1

．
（Ⅱ）結(jié)合函數(shù)g（a）的解析式可得，當(dāng)a≤1時(shí)，g（a）≥3-4=-1，而當(dāng)a＞1時(shí)，g（a）=-1，
故g（a）的最小值為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．