Question

(本題滿分12分)
如圖，點(diǎn)在圓直徑的延長(zhǎng)線上，切圓于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（I）求的度數(shù)；
（II）當(dāng)時(shí)，求證：∽,并求相似比的值.

Answer 1

（I） ；（II） 。

本試題主要是考查了平面幾何中圓內(nèi)的性質(zhì)和三角形的相似的性質(zhì)的綜合運(yùn)用。
（1）根據(jù)已知AC為圓O的切線,利用弦切角定理和角平分線的性質(zhì)得到角相等，進(jìn)而確定結(jié)論。
（2）根據(jù)第一問(wèn)中角的關(guān)系，然后結(jié)合三角形ACE相似于三角形ABC,可知結(jié)論。
（I）AC為圓O的切線,∴
又知DC是的平分線, ∴  ……………………………………3分
∴即 又因?yàn)锽E為圓O的直徑,
∴∴  ……………………………………….6分
（II）,,∴∽    ……….………8分
∴,又AB="AC," ∴,                ………10分
∴在RT△ABE中,    ……………………………………….12分