Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

6

3

，且橢圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP

=

OM

+3

ON

，其中M、N是橢圓上不同兩點(diǎn)，直線OM、ON的斜率之積為-

1

3

，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用離心率e=

6

3

，且橢圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為

3

，建立方程，求出b，即可求橢圓C的方程；
（2）利用

OP

=

OM

+3

ON

，所以x=x₁+3x₂，y=y₁+3y₂，結(jié)合OM、ON的斜率之積為-

1

3

，即可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

解答： 解：（1）根據(jù)題意知a=

3

，

1- b2 a2

=

6

3

，
所以，b²=1，
故所求橢圓方程為

x2

3

+y2=1
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），動(dòng)點(diǎn)P（x，y），
因?yàn)镸、N在橢圓上，
所以x1+3y12=3，x2+3y22=3，
又

OP

=

OM

+3

ON

，
所以x=x₁+3x₂，y=y₁+3y₂
則x2+3y2=(x1+3x2)2+3(y1+3y2)2=x12+3y12+9x22+27y22+6x1x2+18y1y2

=30+6x1x2+18y1y2

，
因?yàn)镺M、ON的斜率之積為-

1

3

，
所以

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

3

，
即x₁x₂+3y₁y₂=0，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+3y²=30．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是關(guān)鍵．