Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為B（1，0），右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A（5，0），過點(diǎn)A作直線l交橢圓C于兩個(gè)不同的點(diǎn)P、Q．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線l斜率的取值范圍；
（3）是否存在直線l，使得|BP|=|BQ|，若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

c=1 a2 c =5 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）點(diǎn)A（5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓C無交點(diǎn)，橢圓的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-5），聯(lián)立

x2 5 +y2=1 y=k(x-5)

，得（5k²+1）x²-50k²x+125k²-5=0，利用根的判別式能求出直線l斜率的取值范圍．
（3）設(shè)P、Q到準(zhǔn)線的距離分別為d_P，d_Q，由

|BP|

dP

=e，

|BQ|

dQ

=e，得d_P=d_Q，PQ平行于準(zhǔn)線，這點(diǎn)PQ過點(diǎn)A矛盾，從而得到不存在直線l，使得|BP|=|BQ|．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為B（1，0），
右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A（5，0），
∴

c=1 a2 c =5 a2=b2+c2

，解得a=

5

，b=2，
∴橢圓方程為

x2

5

+

y2

4

=1．
（2）點(diǎn)A（5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
直線l與橢圓C無交點(diǎn)，
∴橢圓的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-5），
聯(lián)立

x2 5 +y2=1 y=k(x-5)

，得（5k²+1）x²-50k²x+125k²-5=0，
∵過點(diǎn)A作直線l交橢圓C于兩個(gè)不同的點(diǎn)P、Q，
∴△=2500k⁴-4（5k²+1）（125k²-5）＞0，
解得-

1

5

＜k＜

1

5

．
（3）設(shè)P、Q到準(zhǔn)線的距離分別為d_P，d_Q，
若存在直線l，使得|BP|=|BQ|，
∵

|BP|

dP

=e，

|BQ|

dQ

=e，∴d_P=d_Q，
∵P，Q是橢圓上的不同的點(diǎn)，
∴PQ平行于準(zhǔn)線，這點(diǎn)PQ過點(diǎn)A矛盾，
∴不存在直線l，使得|BP|=|BQ|．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，考查滿足條件的直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．