【題目】如圖,多面體是正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)沿平面切除一部分所得,其中平面為原正三棱柱的底面,,點(diǎn)D為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)設(shè)與交于點(diǎn)E,連接、,由題意可得四邊形是正方形,且,再由點(diǎn)D為的中點(diǎn),平行且等于,求得CD,同理求得,得,可得,由線面垂直的判定可得;
(2)取BC的中點(diǎn)O,連接AO,可得AO⊥BC,由正棱柱的性質(zhì)可得AO⊥平面,以O為坐標(biāo)原點(diǎn),向量、、分別為x、y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面CBD與平面的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的平面角的余弦值.
(1)設(shè)與交于點(diǎn)E,連接、.
∵多面體是正三棱柱沿平面切除部分所得,,
∴四邊形是正方形,且.
∵點(diǎn)D為的中點(diǎn),平行且等于,
∴.
同理,
∴.
∵E為的中點(diǎn),
∴.
又∵,,
∴平面;
(2)取的中點(diǎn)O,連接.
∵為正三角形,.
由正棱柱的性質(zhì)可得,平面平面,
且平面平面,
∴平面.
以點(diǎn)O為原點(diǎn),向量、、分別為x、y,z軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
則,,,,
,,.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,
令,得,,即.
由(1)可知,平面的一個(gè)法向量為.
,
又∵二面角的平面角為銳角,
∴二面角的平面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地?cái)M建造一座大型體育館,其設(shè)計(jì)方案側(cè)面的外輪廓如圖所示,曲線是以點(diǎn)為圓心的圓的一部分,其中;曲線是拋物線的一部分;,且恰好等于圓的半徑.假定擬建體育館的高(單位:米,下同).
(1)若,,求、的長度;
(2)若要求體育館側(cè)面的最大寬度不超過米,求的取值范圍;
(3)若,求的最大值.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=2,=λ.
(1)若λ=1,求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)若二面角B1- A1C1-D的大小為60°,求實(shí)數(shù)λ的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某品牌奶茶公司計(jì)劃在A地開設(shè)若干個(gè)連鎖加盟店,經(jīng)調(diào)查研究,加盟店的個(gè)數(shù)x與平均每個(gè)店的月營業(yè)額y(萬元)具有如下表所示的數(shù)據(jù)關(guān)系:
x | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
y | 20.9 | 20.2 | 19 | 17.8 | 17.1 |
(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果分析,為了保證平均每個(gè)加盟店的月營業(yè)額不少于14.6萬元,則A地開設(shè)加盟店的個(gè)數(shù)不能超過幾個(gè)?
參考公式:線性回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓:的焦距為,直線截圓:與橢圓所得的弦長之比為,橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)分別為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)(且)為橢圓上一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,直線,分別交軸于點(diǎn),.試判斷是否為定值?若是求出該定值,若不是定值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出原理:“冪勢既同,則積不容異”.其中“冪”是截面積,“勢”是幾何體的高.原理的意思是:夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體,被任一平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截,若所截的兩個(gè)截面的面積恒相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖(1),函數(shù)的圖象與x軸圍成一個(gè)封閉區(qū)域A(陰影部分),將區(qū)域A(陰影部分)沿z軸的正方向上移6個(gè)單位,得到一幾何體.現(xiàn)有一個(gè)與之等高的底面為橢圓的柱體如圖(2)所示,其底面積與區(qū)域A(陰影部分)的面積相等,則此柱體的體積為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱錐中,BO、AO、CO所在直線兩兩垂直,且AO=CO,∠BAO=60°,E是AC的中點(diǎn),三棱錐的體積為
(1)求三棱錐的高;
(2)在線段AB上取一點(diǎn)D,當(dāng)D在什么位置時(shí),和的夾角大小為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行,求;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象恒在軸上方,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】華為董事會決定投資開發(fā)新款軟件,估計(jì)能獲得萬元到萬元的投資收益,討論了一個(gè)對課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案:獎(jiǎng)金(單位:萬元)隨投資收益(單位:萬元)的增加而增加,且獎(jiǎng)金不超過萬元,同時(shí)獎(jiǎng)金不超過投資收益的.
(1)請分析函數(shù)是否符合華為要求的獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型,并說明原因;
(2)若華為公司采用模型函數(shù)作為獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型,試確定正整數(shù)的取值集合.
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