已知函數(shù)g(x)=(m2-m-1)xm2+2m-3是冪函數(shù)且在(0,+∞)上為減函數(shù),函數(shù)f(x)=mx2+ax-
a
4
+
1
2
在區(qū)間[0,1]上的最大值為2,試求實(shí)數(shù)m,a的值.
分析:根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)確定m,由函數(shù)f(x)=mx2+ax-
a
4
+
1
2
在區(qū)間[0,1]上的最大值為2,確定a.
解答:解:因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=(m2-m-1)xm2+2m-3是冪函數(shù)且在上為減函數(shù),所以有
m2-m-1=1
m2+2m-3<0
解得m=-1.
f(x)=-x2+ax-
a
4
+
1
2
=-(x-
a
2
)2+
1
2
-
a
4
+
a2
4
----------5’
①當(dāng)
a
2
<0,即a<0時(shí)
,[0,1]是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,
f(x)max=f(0)=
1
2
-
a
4
=2

∴a=-6<0,
∴a=-6--------7’
②當(dāng)0≤
a
2
<1,即0≤a<2時(shí)
,f(x)max=f(
a
2
)=
1
2
-
a
4
+
a2
4
=2
,
解得a=-2(舍)或a=3(舍)----------9’
當(dāng)
a
2
≥1,即a≥2時(shí)
,[0,1]為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,
f(x)max=f(1)=-1+a-
a
4
+
1
2
=2
,解得a=
10
3
--------11’
綜合①②③可知a=-6或a=
10
3
--------12’
點(diǎn)評(píng):本題主要考查冪函數(shù)的定義和性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),要求熟練掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=-
a2
3
x3+
a
2
x2+cx(a≠0)
,
(I)當(dāng)a=1時(shí),若函數(shù)g(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)c的取值范圍;
(II)當(dāng)a≥
1
2
時(shí),(1)求證:對(duì)任意的x∈[0,1],g′(x)≤1的充要條件是c≤
3
4
;
(2)若關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程g′(x)=0有兩個(gè)實(shí)根α,β,求證:|α|≤1,且|β|≤1的充要條件是-
1
4
≤c≤a2-a

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(coswx,sinwx),
n
=(coswx,
3
coswx)
,設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n
+1
且f(x)的最小正周期為2π.
(I)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和最值;
(II)已知函數(shù)g(x)=
tanx-tan3x
1+2tan2x+tan4x
,求證:f(x)>g(x).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=
x2-2
(x≥2)
的導(dǎo)數(shù)為g′(x)=
x
x2-2
(x≥2)
,記函數(shù)f(x)=x-kg(x)(x≥2,k為常數(shù)).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上為減函數(shù),求k的取值范圍;
(2)求函數(shù)f(x)的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=1-2x , f[g(x)]=
1-x2
x2
 (x≠0)
,則f(0)等于( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=
x+2,x>-
1
2
-x-
1
2x
,-
2
2
<x≤-
1
2
2
,x≤-
2
2
,若g(a)≥g(
1
a
)
,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
[-
2
,0)∪[1,+∞)
[-
2
,0)∪[1,+∞)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案