Question

14．已知向量序列：$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，…，$\overrightarrow{{a}_{n}}$，…滿足條件：|$\overrightarrow{a{\;}_{1}}$|=2且$\overrightarrow{{a}_{n}}$-$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$=$\overrightarrowyyqz3uo$（n≥2，n∈N），其中向量$\overrightarrowr3cvyz7$滿足：|$\overrightarrowxc2a3b8$|=$\frac{1}{2}$且2$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrowlatrtpu$=-1．
（1）求數(shù)列{|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|}的最小項(xiàng)；
（2）是否存在正整數(shù)m，p，n，使得當(dāng)m＞p＞n時(shí)，有$\overrightarrow{{a}_{m}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{p}}$²，若存在，求出p的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知條件采用累加法求得$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（n-1）$\overrightarrowddr8dcn$，平方后結(jié)合已知條件得到${\overrightarrow{{a}_{n}}}^{2}$關(guān)于n的函數(shù)式，利用配方法求得使${\overrightarrow{{a}_{n}}}^{2}$取得最小值的n值；
（2）通過(guò)$\overrightarrow{{a}_{m}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{p}}$²，代入$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（n-1）$\overrightarrowalnv83t$，$\overrightarrow{{a}_{m}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（m-1）$\overrightarrow32zxfkf$，$\overrightarrow{{a}_{p}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（p-1）$\overrightarrow1hqo7h7$，結(jié)合已知條件計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{{a}_{n}}$-$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$=$\overrightarrowoyw3e8g$，∴$\overrightarrow{{a}_{2}}$-$\overrightarrow{{a}_{1}}$=$\overrightarrowbq3sqrq$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$-$\overrightarrow{{a}_{2}}$=$\overrightarrowni7zc3q$，
…
$\overrightarrow{{a}_{n}}$-$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$=$\overrightarrowaq3x7n3$，累加得，$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（n-1）$\overrightarrowyibef3v$，
又∵|$\overrightarrow{a{\;}_{1}}$|=2，|$\overrightarrowu8vnlqg$|=$\frac{1}{2}$且2$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrowka7xb3d$=-1，
∴${\overrightarrow{{a}_{n}}}^{2}$=${\overrightarrow{{a}_{1}}}^{2}$+$（n-1）^{2}{\overrightarrowtzwjndx}^{2}$+2（n-1）$\overrightarrow{{a}_{1}}\overrightarrowihlxgww$
=$\frac{（n-1）^{2}}{4}-（n-1）+4$．
∴當(dāng)n-1=2，即n=3時(shí)，${\overrightarrow{{a}_{n}}}^{2}$最小，即|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|最��；
（2）結(jié)論：存在最小正整數(shù)p=6滿足題意．
理由如下：
由（1）得：$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（n-1）$\overrightarrowz82zi23$，$\overrightarrow{{a}_{m}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（m-1）$\overrightarrow7om8b3h$，$\overrightarrow{{a}_{p}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（p-1）$\overrightarrowbgnbfkk$，
∵$\overrightarrow{{a}_{m}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{p}}$²，∴[$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（m-1）$\overrightarrowzd8ktyj$]•[$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（n-1）$\overrightarrowv8x83wb$]=[$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（p-1）$\overrightarrow2xwdlrm$]²，
化簡(jiǎn)，得：$（m+n-2p）\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrowzfxqnis$=$（{p}^{2}-2p-mn+m+n-2）{\overrightarrowye82wpj}^{2}$，
∴$-\frac{1}{2}$（m+n-2p）=$\frac{1}{4}（{p}^{2}-2p-mn+m+n-2）$，
即（p-3）²=（m-3）（n-3）+2，
顯然m=10，p=6，n=4滿足題意，p的最小值為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了利用配方法求二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．