Question

12．如圖：在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=4，BB₁=4，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是A₁D₁的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AB₁，BF所成角的余弦值，
（2）求三棱錐E-AB₁D的體積．

Answer 1

分析 （1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，確定$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（2，0，4），$\overrightarrow{BF}$=（-2，2，4），利用向量的夾角公式求異面直線AB₁，BF所成角的余弦值，
（2）利用三棱錐的體積公式求三棱錐E-AB₁D的體積．

解答 解：（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B₁（2，0，4），B（2，0，0），F(xiàn)（0，2，4），
所以$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（2，0，4），$\overrightarrow{BF}$=（-2，2，4），
所以異面直線AB₁，BF所成角的余弦值為$\frac{-4+16}{\sqrt{4+16}•\sqrt{4+4+16}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$；
（2）在△CC₁D中，由等面積可得C到平面AB₁D的距離為$\frac{4×2}{\sqrt{20}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
所以E到平面AB₁D的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
因?yàn)椤鰽B₁D的面積為$\frac{1}{2}×4×\sqrt{20}$=4$\sqrt{5}$，
所以三棱錐E-AB₁D的體積為$\frac{1}{3}×4\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐體積的計(jì)算，考查異面直線AB₁，BF所成角，正確運(yùn)用向量法是關(guān)鍵．