Question

如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)M（2，0），AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0點(diǎn)T（-1，1）在AD邊所在直線上．
（I）求AD邊所在直線的方程；
（II）求矩形ABCD外接圓的方程；
（III）若動(dòng)圓P過點(diǎn)N（-2，0），且與矩形ABCD的外接圓外切，求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）先由AD與AB垂直，求得AD的斜率，再由點(diǎn)斜式求得其直線方程；
（II）先求得其圓心和半徑，再由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解；
（III）由圓心距等于兩半徑之和，抽象出雙曲線的定義從而求得軌跡方程．
解答：解：（I）因?yàn)锳B邊所在直線的方程為x-3y-6=0，且AD與AB垂直，所以直線AD的斜率為-3
又因?yàn)辄c(diǎn)T（-1，1）在直線AD上，
所以AD邊所在直線的方程為y-1=-3（x+1）．
3x+y+2=0．

（II）由解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2），
因?yàn)榫匦蜛BCD兩條對角線的交點(diǎn)為M（2，0）．
所以M為矩形ABCD外接圓的圓心．
又．
從而矩形ABCD外接圓的方程為（x-2）²+y²=8．

（III）因?yàn)閯?dòng)圓P過點(diǎn)N，所以|PN|是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓P與圓M外切，
所以|PM|=|PN|+2，
即|PM|-|PN|=2．
故點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的左支．
因?yàn)閷?shí)半軸長a=，半焦距c=2．
所以虛半軸長b=．
從而動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程為．
點(diǎn)評：本題主要考查直線方程的求法，平面圖形外接圓的求法和軌跡方程的求法．