Question

9．證明下列各式：
（1）cos20°（tan40°-$\sqrt{3}$）=-tan40°；
（2）sin（α+β）-2cosαsinβ=tan（α-β）[2cosαcosβ-cos（α+β）]．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的恒等變換的應用從等式的左邊入手證明；
（2）利用兩角和差的三角函數(shù)公式證明左邊等于右邊即可．

解答 證明：（1）cos20°（tan40°-$\sqrt{3}$）
=cos20°（tan40°-tan60°）
=$\frac{cos20°（sin40°cos60°-cos40°sin60°）}{cos40°cos60°}$
=$\frac{cos20°sin（40°-60°）}{\frac{1}{2}cos40°}$
=-$\frac{2sin20°cos20°}{cos40°}$
=-tan40°．
（2）∵左邊=sinαcosβ+cosαsinβ-2cosαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ=sin（α-β），
右邊=tan（α-β）[2cosαcosβ-cosαcosβ+sinαsinβ]=tan（α-β）[cosαcosβ+sinαsinβ]
=tan（α-β）cos（α-β）=sin（α-β），
∴左邊=右邊，得證．

點評 本題考查了三角恒等式的證明，用到了倍角公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式以及特殊角的三角函數(shù)值的應用，屬于基礎題．