Question

直線l：y=mx+1，雙曲線C：3x²-y²=1，問是否存在m的值，使l與C相交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過原點．

Answer 1

分析：假設存在m值滿足條件，設A、B坐標分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消掉y后得x的二次方程，有△＞0，由以AB為直徑的圓過原點得OA⊥OB，即

OA

•

OB

=0，從而可轉化為關于A、B坐標的關系式，由直線方程可進一步化為x₁，x₂的式子，將韋達定理代入即可得m的方程，解出m后檢驗是否滿足△＞0即可．

解答：解：假設存在m值滿足條件，
設A、B坐標分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂），
由

y=mx+1 3x2-y2=1

得：（3-m²）x²-2mx-2=0，
則3-m²≠0，且△=4m²-4（3-m²）（-2）＞0，得m²＜6且m²≠3①，
由韋達定理有：x1+x2=

2m

3-m2

，x1x2=

-2

3-m2

，
因為以AB為直徑的圓過原點，所以OA⊥OB，即

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以x₁x₂+（mx₁+1）（mx₂+1）=0，即（1+m²）x₁x₂+m（x₁+x₂）+1=0，
所以（1+m²）•

-2

3-m2

+m•

2m

3-m2

+1=0，解得m=±1，
故存在m=1或m=-1使l與C相交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過原點．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、圓的性質，考查轉化思想，解決本題的關鍵是正確理解“以AB為直徑的圓過原點”并能合理轉化．