Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+

3

2

（2a-1）x²-6x（a∈R）
（1）當(dāng)a=

1

3

時，求f（x）的極大值和極小值；
（2）當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，3）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)性再求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出極大值與極小值；
（2）由函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，3）上是減函數(shù)，知′f（x）≤0在（-2，3）上刁成立，得出不等式，求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=

1

3

時，當(dāng)f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-6x，f′（x）=x²-x-6=（x+2）（x-3）
∴當(dāng)x＜-2或x＞3時，f′（x）＞0，當(dāng)-2＜x＜3時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-2）和（3，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）在（-2，3）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=-2時f（x）有極大值，且極大值f（-2）=

22

3

，當(dāng)x=3時f（x）有極小值，且極小值f（3）=-

27

2

；
（2）f′（x）=3ax²+3（2a-1）x-6=3（x+2）（ax-1）=3a（x+2）（x-

1

a

），
∵a＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，3）上是減函數(shù)，
∴

1

a

≥3，得0＜a≤

1

3

，
即a的取值范圍為（0，

1

3

]．

點評：本題考查了由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，由函數(shù)的單調(diào)性，求式中參數(shù)問題，運用了等價轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．