Question

已知函數(shù)f（x）=log_ax+b（a＞0，a≠1），x∈[1，9]的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，2），且它的反函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，9）．
（1）求a，b的值；
（2）設(shè)g（x）=f²（x）+f（x²），求值域．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）的圖象與反函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，函數(shù)f（x）的圖象進(jìn)過(guò)點(diǎn)（9，3），代入得到關(guān)于a，b的方程組，解得即可．
（2）先求出g（x）的解析式，再根據(jù)自變量的范圍，求得值域．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）的圖象與反函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，它的反函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，9）．
∴函數(shù)f（x）的圖象進(jìn)過(guò)點(diǎn)（9，3），
∵函數(shù)f（x）=log_ax+b（a＞0，a≠1），x∈[1，9]的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，2），
∴

loga3+b=2 loga9+b=3

解得

a=3 b=1

，
（2）由（1）知f（x）=log₃x+1，
∵g（x）=f²（x）+f（x²），
∴g（x）=（log₃x+1）²+log₃x²+1=log₃²x+4log₃x+2=（log₃x+2）²-2，
∵函數(shù)g（x）要有意義，
∴

1≤x≤9 1≤x2≤9

，
解得1≤x≤3，
∴g（1）=2，g（3）=7，
∴值域?yàn)閇2，7]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，屬于中檔題．