解:( I)∵
⊥
,∴(2a+c)cosB+bcosC=0,
在△ABC中,由正弦定理得:
,
∴a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC,代入得
k[(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC]=0,∴2sinAcosB+sin(B+C)=0,即sinA(2cosB+1)=0.
∵A,B∈(0,π),∴sinA≠0,
∴
,解得B=
.
( II)∵S
△ABC=S
△ABD+S
△BCD,
,
,
,
∴xy=x+y,
∴
.
在△ABC中,由余弦定理得:
=x
2+y
2+xy=(x+y)
2-xy=(x+y)
2-(x+y)=
.
∵
,x>0,y>0,∴x+y≥4,
∴
,∴
.
∴AC的取值范圍是:
.
分析:(Ⅰ)
⊥
?
,對此式進行化簡得(2a+c)cosB+bcosC=0,再使用正弦定理即可求出角B;
(Ⅱ)先由三角形的面積之間的關(guān)系S
△ABC=S
△ABD+S
△BCD得出x+y=xy,再使用余弦定理可得:
=
,對x+y=xy使用基本不等式,可求出x+y的取值范圍,進而可求出AC
2的取值范圍.
點評:理解數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系,正確使用正、余弦定理及三角形的面積公式,基本不等式的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.