Question

10．已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}-{y}^{2}≥0}\\{x+ay+b≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，z=x-y的最大值、最小值分別為M、m，且M-m=1，則a+b的取值范圍為（　　）

• A． [$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
• B． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
• C． [$\sqrt{6}$-3，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{23}{10}$）

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求出M，m，由M-m=1把b用a表示，寫出a+b，化為關(guān)于a的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得a+b的取值范圍．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}-{y}^{2}≥0}\\{x+ay+b≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+ay+b=0}\end{array}\right.$，解得：B（$-\frac{1+2a}，-\frac{2b}{1+2a}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{x+ay+b=0}\end{array}\right.$，解得：A（$-\frac{1-2a}，\frac{2b}{1-2a}$），
由題意可知$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1+2a}＞0}\\{-\frac{1-2a}＞0}\end{array}\right.$，則b＜0，$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$．
由z=x-y，得y=x-z，
由圖可知，當(dāng)直線y=x-z過A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為$-\frac{1-2a}-\frac{2b}{1-2a}=-\frac{3b}{1-2a}$；
當(dāng)直線y=x-z過B時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最小值為$-\frac{1+2a}+\frac{2b}{1+2a}=\frac{1+2a}$．
由M-m=1，得$-\frac{3b}{1-2a}-\frac{1+2a}=1$，
∴$b=\frac{4{a}^{2}-1}{4a+4}$，
則a+b=$a+\frac{4{a}^{2}-1}{4a+4}=\frac{8{a}^{2}+4a-1}{4（a+1）}$=$2（a+1）+\frac{3}{4（a+1）}-3$，
∵$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$，∴a+1∈（$\frac{1}{2}，\frac{3}{2}$），
則a+1=$\frac{\sqrt{6}}{4}$時(shí)，$（a+b）_{mn}=\sqrt{6}-3$，
當(dāng)a+1→$\frac{3}{2}$時(shí)，a+b→$\frac{1}{2}$．
∴a+b的取值范圍為[$\sqrt{6}$-3，$\frac{1}{2}$）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬難度較大的題目．