Question

12．在區(qū)間[0，5]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則使得不等式x+$\frac{1}{x-1}$≥a對(duì)所有x∈（1，+∞）恒成立的概率為$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 本題是幾何概型的考查，只要求出滿足不等式x+$\frac{1}{x-1}$≥a對(duì)所有x∈（1，+∞）恒成立的a的范圍，利用區(qū)間長(zhǎng)度比求概率．

解答 解：由題意，總事件對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度為5，而在此條件下，滿足不等式x+$\frac{1}{x-1}$≥a對(duì)所有x∈（1，+∞）恒成立，即x-1+$\frac{1}{x-1}$≥a-1，對(duì)所有x∈（1，+∞）恒成立，只要（x-1+$\frac{1}{x-1}$）_最小值≥a-1對(duì)所有x∈（1，+∞）恒成立，因?yàn)椴坏仁絰-1+$\frac{1}{x-1}$≥2，所以只要a-1≤2，即a≤3，
所以在[0，5]的前提下，使不等式x+$\frac{1}{x-1}$≥a對(duì)所有x∈（1，+∞）恒成立的a的范圍是[3，5]，區(qū)間長(zhǎng)度為2，
所以使得不等式x+$\frac{1}{x-1}$≥a對(duì)所有x∈（1，+∞）恒成立的概率為：$\frac{2}{5}$．
故答案為：$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型的概率求法；關(guān)鍵是明確概率模型，求出使得不等式x+$\frac{1}{x-1}$≥a對(duì)所有x∈（1，+∞）恒成立的a的范圍，利用了基本不等式，屬于中檔題．