Question

16．已知函數(shù)f（x）與g（x）定義在R上，f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，且有 f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$，求f（x），g（x）．

Answer 1

分析 由條件根據(jù)f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$ ①，可得-f（x）+g（x）=-$\frac{1}{x+1}$ ②，解由①②構(gòu)成的方程組，求得f（x）和g（x）的解析式．

解答 解：∵f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，且有 f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$ ①，
可得f（-x）+g（-x）=$\frac{1}{-x-1}$，即-f（x）+g（x）=-$\frac{1}{x+1}$ ②．
由①②求得 f（x）=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{x-1}$+$\frac{1}{x+1}$]=$\frac{x}{（x+1）（x-1）}$，g（x）=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$]=$\frac{1}{（x+1）（x-1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，體現(xiàn)了解方程組的思想，屬于中檔題．