Question

已知圓C：（x-1）²+（y-1）²=2，若直線l與圓C相切，且與x軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，則|OA|+|OB|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最小值為（　�。�

• A、4
• B、6
• C、8
• D、10

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：設(shè)直線l的截距式方程為

x

a

+

y

b

=1，（a＞0，b＞0），由直線與圓相切可得

|b+a-ab|

a2+b2

=

2

，變形結(jié)合基本不等式可得a²+b²-a²b²+2ab（a+b）≥2ab-a²b²+2ab（a+b），整理可得a²b²≥2ab（a+b），可得ab≥2（a+b），再由(

a+b

2

)2≥ab≥2(a+b)，可得(

a+b

2

)2≥2(a+b)解不等式可得答案．

解答： 解：由題意設(shè)直線l的截距式方程為

x

a

+

y

b

=1，（a＞0，b＞0）
化為一般式方程可得bx+ay-ab=0，
由直線與圓相切可得

|b+a-ab|

a2+b2

=

2

，
展開可得a²+b²+a²b²+2ab-2a²b-2ab²=2（a+b）²，
整理可得a²+b²-a²b²+2ab（a+b）=2ab，
由基本不等式可得a²+b²-a²b²+2ab（a+b）≥2ab-a²b²+2ab（a+b）
整理可得a²b²≥2ab（a+b），可得ab≥2（a+b），
又(

a+b

2

)2≥ab≥2(a+b)，∴(

a+b

2

)2≥2(a+b)
解不等式可得a+b≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的切線方程和直線的截距式方程，涉及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．