Question

某次有獎競猜活動設(shè)有A、B兩組相互獨(dú)立的問題，答對問題A可贏得獎金3千元，答對問題B可贏得獎金6千元．規(guī)定答題順序可任選，但只有一個問題答對才能解答下一個問題，否則中止答題．假設(shè)你答案對問題A、B的概率依次為

1

2

，

1

3

．
（1）若你按先A后B的次序答題，寫出你獲得獎金的數(shù)額ξ的分布列及期望Eξ；
（2）你認(rèn)為獲得獎金期望值的大小與答題順序有關(guān)嗎？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由題意知，獲得獎金數(shù)額ξ的可取值為0，3（千元），9（千元），利用概率的乘法公式分別求出它們的概率，列成表格即得；
（2）為了研究獲得獎金期望值的大小與答題順序有關(guān)與否，只須分別求出按先A后B的次序答題和按先B后A的次序答題的分布列，再利用數(shù)學(xué)期望公式計算出數(shù)學(xué)期望值比較大小即可．

解答：解：（1）按先A后B的次序答題，獲得獎金數(shù)額ξ的可取值為0，3（千元），9（千元）
因?yàn)?span id="3qljh7b" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">P(ξ=0)=1-

1

2

=

1

2

，P(ξ=3)=

1

2

(1-

1

3

)=

1

3

，P(ξ=9)=

1

2

×

1

3

=

1

6

（4分）
所以ξ的分布列為
（5分）
ξ的數(shù)學(xué)期望值Eξ=0×P（ξ=0）+3×P（ξ=3）+9×P（ξ=9）=2.5（6分）
（2）解：按先B后A的次序答題，獲得獎金數(shù)額η的可取值為0，6（千元），9（千元）
因?yàn)?span id="ayy7hpo" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">P(η=0)=1-

1

3

=

2

3

，P(η=6)=

1

3

(1-

1

2

)=

1

6

，P(η=9)=

1

3

×

1

2

=

1

6

（10分）
所以η的數(shù)學(xué)期望Eη=0×P（η=0）+6×P（η=3）+9×（η=9）=2.5（11分）
由于按先A后B或先B后A的次序答題，獲得獎金期望值的大小相等，故獲得獎金期望值的大小與答題順序無關(guān)．（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列和離散型隨機(jī)變量的期望與方差，屬于基礎(chǔ)題之列．