Question

9．已知x₁、x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）是否存在實(shí)數(shù)k，使兩實(shí)根之積等于1？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（2）求使$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值．

Answer 1

分析 （1）若存在，則x₁x₂=$\frac{k+1}{4k}$=1，從而化方程為x²-x+1=0，從而判斷；
（2）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{4k≠0}\\{△=（4k）^{2}-4×4k×（k+1）≥0}\end{array}\right.$，從而可得k＜0，x₁+x₂=1，x₁x₂=$\frac{k+1}{4k}$；從而化簡(jiǎn)$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2=$\frac{4k}{k+1}$-4；從而判斷求解．

解答 解：（1）若存在，則x₁x₂=$\frac{k+1}{4k}$=1，
解得，k=$\frac{1}{3}$，
此時(shí)方程可化為x²-x+1=0，方程無解；
故不存在；
（2）由題意得，
$\left\{\begin{array}{l}{4k≠0}\\{△=（4k）^{2}-4×4k×（k+1）≥0}\end{array}\right.$，
解得，k＜0；
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=$\frac{k+1}{4k}$，
$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$-2
=$\frac{1}{\frac{k+1}{4k}}$-4=$\frac{4k}{k+1}$-4；
又∵k＜0，
∴k+1=-1，-2，-4；
故k=-2，-3，-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系應(yīng)用及化簡(jiǎn)運(yùn)算．