【題目】已知圓M的圓心在直線：上，與直線：相切，截直線：所得的弦長(zhǎng)為6.

（1）求圓M的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的兩條成角的直線分別交圓M于A，C和B，D，求四邊形面積的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將圓心代入直線的方程，由點(diǎn)到直線距離公式求得圓M到的距離，由弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線距離公式表示出直線與圓的關(guān)系，解方程組即可求得的值，即可求得圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）解法1：作，，令，，討論或兩種情況：當(dāng)時(shí)，由余弦定理表示出，而、、、四點(diǎn)共圓，根據(jù)正弦定理求得，進(jìn)而求得，結(jié)合基本不等式即可求得，即可求得四邊形面積的最大值；當(dāng)時(shí)，由基本不等式求得，即可由二次函數(shù)性質(zhì)求得四邊形面積的最大值.

解法2：結(jié)合三角形面積公式可得，由基本不等式可知，討論或兩種情況，即可確定四邊形面積的最大值.

（1）設(shè)圓M的方程為：

則，解得：，

∴所求圓方程為

（2）解法1：

如圖作，，令，，或

當(dāng)時(shí)，，

因、、、四點(diǎn)共圓，

由正弦定理，

∴，

又，

∴，

，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，

當(dāng)時(shí)，，

∴，

又，

所以，

綜上所述，四邊形面積的最大值為.

解法2：

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），

要使得，則直線PM應(yīng)是的平分線，

當(dāng)時(shí)，圓心M到直線AC、BD的距離為，則，

.

當(dāng)時(shí)，圓心M到直線AC、BD的距離為，則，

.

綜上所述，四邊形面積的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校高三課外興趣小組為了解高三同學(xué)高考結(jié)束后是否打算觀看2018年足球世界杯比賽的情況,從全校高三年級(jí)1500名男生、1000名女生中按分層抽樣的方式抽取125名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,情況如下表:

打算觀看

不打算觀看

女生

20

b

男生

c

25

（1）求出表中數(shù)據(jù)b，c;

（2）判斷是否有99%的把握認(rèn)為觀看2018年足球世界杯比賽與性別有關(guān);

（3）為了計(jì)算“從10人中選出9人參加比賽”的情況有多少種，我們可以發(fā)現(xiàn)它與“從10人中選出1人不參加比賽”的情況有多少種是一致的.現(xiàn)有問(wèn)題：在打算觀看2018年足球世界杯比賽的同學(xué)中有5名男生、2名女生來(lái)自高三（5）班，從中推選5人接受校園電視臺(tái)采訪，請(qǐng)根據(jù)上述方法，求被推選出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.

P(K2≥k0)

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

K0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

附：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， 的最大值為.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點(diǎn)分別為， ，且離心率為， 為橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， 的面積為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點(diǎn)是橢圓上異于橢圓頂點(diǎn)的一點(diǎn)，延長(zhǎng)直線， 分別與橢圓交于點(diǎn)， ，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求證： 為定值.

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設(shè)由題，由此求出,可得橢圓的方程；

（2）設(shè)， ，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得；

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，同理可得.

當(dāng)直線、的斜率存在時(shí)，，

設(shè)直線的方程為，則由消去通過(guò)運(yùn)算可得

，同理可得，由此得到直線的斜率為，

直線的斜率為，進(jìn)而可得.

試題解析：（1）設(shè)由題，

解得，則，

橢圓的方程為.

（2）設(shè)， ，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，

直線的方程為代入，可得，

， ，則，

直線的斜率為，直線的斜率為，

，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，同理可得.

當(dāng)直線、的斜率存在時(shí)，，

設(shè)直線的方程為，則由消去可得：

，

又，則，代入上述方程可得

，

，則

，

設(shè)直線的方程為，同理可得，

直線的斜率為，

直線的斜率為，

.

所以，直線與的斜率之積為定值，即.

【題型】解答題
【結(jié)束】
21

【題目】已知函數(shù)， ，在處的切線方程為.

（1）求， ；

（2）若，證明： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（， 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，若直線與曲線相切；

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）在曲線上取兩點(diǎn)， 與原點(diǎn)構(gòu)成，且滿足，求面積的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得直線的直角坐標(biāo)方程為，

，消去參數(shù)可知曲線是圓心為，半徑為的圓，由直線與曲線相切，可得： ；則曲線C的方程為， 再次利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得

可得曲線C的極坐標(biāo)方程.

(2)由（1）不妨設(shè)M（），，（），

，

，

由此可求面積的最大值.

試題解析：（1）由題意可知直線的直角坐標(biāo)方程為，

曲線是圓心為，半徑為的圓，直線與曲線相切，可得： ；可知曲線C的方程為，

所以曲線C的極坐標(biāo)方程為，

即.

(2)由（1）不妨設(shè)M（），，（），

，

，

當(dāng) 時(shí)， ，

所以△MON面積的最大值為.

【題型】解答題
【結(jié)束】
23

【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)實(shí)數(shù)為的最大值，若實(shí)數(shù)， ， 滿足，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)某校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表如下，頻率分布直方圖如圖：

分組

頻數(shù)

頻率

[10，15）

10

0.25

[15，20）

24

n

[20，25）

m

p

[25，30）

2

0.05

合計(jì)

M

1

（1）求出表中M，p及圖中a的值；

（2）若該校高三學(xué)生有240人，試估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10，15）內(nèi)的人數(shù)；

（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25，30）內(nèi)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)對(duì)任意恒成立，其中、是整數(shù)，則的取值的集合為____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊訓(xùn)練，前三次射擊在靶上的著彈點(diǎn)剛好是邊長(zhǎng)為的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn).

（Ⅰ）第四次射擊時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員瞄準(zhǔn)區(qū)域射擊（不會(huì)打到外），則此次射擊的著彈點(diǎn)距的距離都超過(guò)的概率為多少？（彈孔大小忽略不計(jì)）

(Ⅱ) 該運(yùn)動(dòng)員前三次射擊的成績(jī)（環(huán)數(shù)）都在區(qū)間內(nèi)，調(diào)整一下后，又連打三槍，其成績(jī)（環(huán)數(shù)）都在區(qū)間內(nèi).現(xiàn)從這次射擊成績(jī)中隨機(jī)抽取兩次射擊的成績(jī)（記為和）進(jìn)行技術(shù)分析.求事件“”的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了配合新冠疫情防控，某市組織了以“停課不停學(xué)，成長(zhǎng)不停歇”為主題的“空中課堂”，為了了解一周內(nèi)學(xué)生的線上學(xué)習(xí)情況，從該市中抽取1000名學(xué)生進(jìn)行調(diào)査，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）為了估計(jì)從該市任意抽取的3名同學(xué)中恰有2人線上學(xué)習(xí)時(shí)間在[200,300）的概率，特設(shè)計(jì)如下隨機(jī)模擬的方法：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，依次用0,1,2,3，…9的前若干個(gè)數(shù)字表示線上學(xué)習(xí)時(shí)間在[200,300）的同學(xué)，剩余的數(shù)字表示線上學(xué)習(xí)時(shí)間不在[200,300）的同學(xué)；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表線上學(xué)習(xí)的情況．

假設(shè)用上述隨機(jī)模擬方法已產(chǎn)生了表中的30組隨機(jī)數(shù)，請(qǐng)根據(jù)這批隨機(jī)數(shù)估計(jì)概率的值；

907 966 191 925 271 569 812 458 932 683 431 257 027 556

438 873 730 113 669 206 232 433 474 537 679 138 602 231

（2）為了進(jìn)一步進(jìn)行調(diào)查，用分層抽樣的方法從這1000名學(xué)生中抽出20名同學(xué)，在抽取的20人中，再?gòu)木�上學(xué)習(xí)時(shí)間[350,450）（350分鐘至450分鐘之間）的同學(xué)中任意選擇兩名，求這兩名同學(xué)來(lái)自同一組的概率．

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同步練習(xí)冊(cè)答案