Question

【題目】設(shè)對(duì)任意恒成立，其中、是整數(shù)，則的取值的集合為____．

Answer 1

【答案】

【解析】

利用換元法設(shè)f（x）＝ax+3，g（x）＝x2﹣b，根據(jù)一元一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷求解即可．

∵（ax+3）（x2﹣b）≤0對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，

∴當(dāng)x＝0時(shí)，不等式等價(jià)為﹣3b≤0，即b≥0，

當(dāng)x→+∞時(shí)，x2﹣b＞0，此時(shí)ax+3≤0，則 a<0

設(shè)f（x）＝ax+3，g（x）＝x2﹣b，

若b＝0，則g（x）＝x2＞0，

函數(shù)f（x）＝ax+3的零點(diǎn)為x，則函數(shù)f（x）在（0，）上f（x）＞0，此時(shí)不滿足條件．

故b＞0，a<0

∵函數(shù)f（x）在（0，）上f（x）＞0，則（，+∞））上f（x）＜0，

而g（x）在（0，+∞）上的零點(diǎn)為x，且g（x）在（0，，）上g（x）＜0，則（，+∞））上g（x）＞0，

∴要使（ax+3）（x2﹣b）≤0對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，

則函數(shù)f（x）與g（x）的零點(diǎn)相同，即，

∵a，b，是整數(shù)，

∴﹣a是3的約數(shù)，即﹣a＝1，或﹣a＝3，

即a＝﹣1，或a＝﹣3，

當(dāng)a＝﹣1時(shí)，3，即b＝9，

當(dāng)a＝﹣3時(shí)，1，即b＝1，

即a+b＝﹣1+9＝8或a+b＝﹣3+1＝﹣2，

即a+b的取值的集合為{8，﹣2}，

故答案為：{8，﹣2}．