已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的右焦點為F1（3，0），設(shè)直線y=kx與橢圓相交于A、B兩點，M、N分別為線段AF1，BF1的中點，若坐標(biāo)原點O在以MN為直徑的圓上，請運用橢圓的幾何性質(zhì)證明線段|AB|的長是定值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：由橢圓的對稱性知|OA|=|OB|，由已知條件推導(dǎo)出OM⊥ON，四邊形ONF1M是平行四邊形，由此能證明線段|AB|的長是定值．
解答： 證明：∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1=1的右焦點為F1（3，0），
直線y=kx與橢圓相交于A、B兩點，
∴由橢圓的對稱性知|OA|=|OB|，
∵M(jìn)、N分別為線段AF1，BF1的中點，
坐標(biāo)原點O在以MN為直徑的圓上，
∴OM⊥ON，OM∥NF1，ON∥MF1，
∴四邊形ONF1M是平行四邊形，
∴∠NF1M=90°，即∠AF1B=90°，
∴|AB|=2|OF1|=2×3=6，
∴線段|AB|的長是定值6．
點評：本題考查線段長為定值的證明，是中檔題，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

“實數(shù)a=1”是“復(fù)數(shù)（1+ai）i（a∈R，i為虛數(shù)單位）的模為
2
”的（　　）
A、充分非必要條件
B、必要非充分條件
C、充要條件
D、既不是充分條件又不是必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線y=x2在點（n，n2）處的切線方程為
x
an
-
y
bn
=1，其中n∈N*
（1）求an，bn關(guān)于n的表達(dá)式；
（2）設(shè)Cn=
1
an+bn
，求證：c1+c2+…+cn＜
4
3
；
（3）設(shè)dn=
4an
λ•4an+1-λ
，其中0＜λ＜1，求證：d1+d2+…+dn＞
nλ+λ-1
λ2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F（c，0）是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點，圓F：（x-c）2+y2=a2與x軸交于E，D兩點，B是橢圓C與圓F的一個交點，且|BD|=
3
×|BE|．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）過點B與圓F相切的直線l與C的另一交點為A，且△ABD的面積等于24×
6
×
c
13
，求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+x-xlnx，
（1）若a=0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（1）=2，且在定義域內(nèi)f（x）≥bx2+2x恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，左、右兩個焦點分別為F1、F2，且拋物線y2=4
3
x與該橢圓有一個共同的焦點，點P在橢圓C上，且PF2⊥F1F2，|PF1|=
7
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)D（
3
2
，0），過F2且不垂直于坐標(biāo)軸的動直線l交橢圓C于A、B兩點，若以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x+1
ex
（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)φ（x）=xf（x）+tf′（x）+
1
ex
，存在函數(shù)x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（x2-2ax+a2）lnx，a∈R，
（1）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=-1時，令F（x）=
f(x)
x+1
+x-lnx，證明：F（x）≥-e-2，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）不存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率為
2
2
，且經(jīng)過點P（1，
2
2
）．過坐標(biāo)原點的直線l1與l2均不在坐標(biāo)軸上，l1與橢圓M交于A，C兩點，l2與橢圓M交于B，D兩點．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若平行四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD面積的最小值．

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