Question

3．是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=log_a（ax²-x）（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)？若存在，求出a的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)u（x）=ax²-x，再根據(jù)二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，
對(duì)字母系數(shù)a進(jìn)行討論，求出滿足題意的a的取值范圍．

解答 解：設(shè)u（x）=ax²-x，則二次函數(shù)u的對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{2a}$；
①當(dāng)a＞1時(shí)，要使函數(shù)f（x）在[2，4]上為增函數(shù)，
則u（x）=ax²-x 在[2，4]上為增函數(shù)，
應(yīng)滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≤2}\\{u（2）=4a-2＞0}\end{array}\right.$，
解得a＞$\frac{1}{2}$；
綜上得，a＞1；
②當(dāng)0＜a＜1 時(shí)，要使函數(shù)f（x）在[2，4]上為增函數(shù)，
則u（x）=ax²-x 在[2，4]上為減函數(shù)，
應(yīng)滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≥4}\\{u（4）=16a-4＞0}\end{array}\right.$，
解得a∈∅；
綜上，a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=log_a（ax²-x）在區(qū)間[2，4]上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．