Question

解關(guān)于x的不等式，（a∈R）：
（1）ax²-2（a+1）x+4＞0；
（2）x²-2ax+2≤0．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）分a=0，a＞0，a＜0三種情況進(jìn)行討論：a=0，a＜0兩種情況易解；a＞0時(shí)，由對應(yīng)方程的兩根大小關(guān)系再分三種情況討論即可；
（2）按照△=4a²-8的符號分三種情況討論即可解得；

解答： 解：（1）ax²-2（a+1）x+4＞0可化為（ax-2）（x-2）＞0，
（i）當(dāng)a=0時(shí)，不等式可化為x-2＜0，不等式的解集為{x|x＜2}；
（ii）當(dāng)a＞0時(shí)，不等式可化為（x-

2

a

）（x-2）＞0，
①若

2

a

＞2，即0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為{x|x＜2或x＞

2

a

}；
②若

2

a

=2，即a=1時(shí)，不等式的解集為{x|x≠2}；
③若

2

a

＜2，即a＞1時(shí)，不等式的解集為{x|x＜

2

a

或x＞2}．
（iii）當(dāng)a＜0時(shí)，不等式可化為（x-

2

a

）（x-2）＜0，不等式的解集為{x|

2

a

＜x＜2}．
綜上，a=0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜2}；0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為{x|x＜2或x＞

2

a

}；
a=1時(shí)，不等式的解集為{x|x≠2}；a＞1時(shí)，不等式的解集為{x|x＜

2

a

或x＞2}；a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|

2

a

＜x＜2}．
（2）x²-2ax+2≤0，
△=4a²-8，
①當(dāng)△＜0，即-

2

＜a＜

2

時(shí)，不等式的解集為∅；
②當(dāng)△=0，即a=±

2

時(shí)，不等式的解集為{x|x=a}；
③當(dāng)△＞0，即a＜-

2

或a＞

2

時(shí)，不等式的解集為[x|a-

a2-2

≤x≤a+

a2-2

}．
綜上，-

2

＜a＜

2

時(shí)，不等式的解集為∅；a=±

2

時(shí)，不等式的解集為{x|x=a}；
a＜-

2

或a＞

2

時(shí)，不等式的解集為[x|a-

a2-2

≤x≤a+

a2-2

}．

點(diǎn)評：該題考查含參數(shù)的一元二次不等式的解法，考查分類討論思想，若二次系數(shù)為參數(shù)，要按照二次系數(shù)的符號討論；若△符號不確定，要按△符號討論；若△＞0，要按照兩根大小討論．屬中檔題．