Question

已知a＞0且a≠1，f（x）=

1

ax+ a

（1）求值：f（0）+f（1），f（-1）+f（2）；
（2）由（1）的結(jié)果歸納概括對所有實(shí)數(shù)x都成立的一個(gè)等式，并加以證明；
（3）若a∈N^*，求和：f（-（n-1））+f（-（n-2））+…+f（-1）+f（0）+…f（n）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,函數(shù)的值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接代入，即可求值；
（2）由（1）歸納f（x）+f（1-x）=

a

a

，再進(jìn)行證明；
（3）利用倒序相加法，即可求解．

解答： 解：（1）f（0）+f（1）=

1

1+ a

+

1

a+ a

=

1

a

=

a

a

，
f（-1）+f（2）=

1

a-1+ a

+

1

a2+ a

=

1

a

=

a

a

；
（2）由（1）歸納f（x）+f（1-x）=

a

a

，證明如下：
f（x）+f（1-x）=

1

ax+ a

+

1

a1-x+ a

=

1

ax+ a

+

ax

a ( a +ax)

=

a

a

，
（3）S=f（-（n-1））+f（-（n-2））+…+f（-1）+f（0）+…f（n）
∴Sf（n）+f（n-1））+…+f（-（n-1）+f（-（n-2））．
兩式相加可得2S=2n•

a

a

，
∴S=

n a

a

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．