【題目】設(shè)b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù),用隨機(jī)變量ξ表示方程x2+bx+c=0實根的個數(shù)(重根按一個計).
(1)求方程x2+bx+c=0有實根的概率;
(2)求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下,方程x2+bx+c=0有實根的概率.

【答案】
(1)解:由題意知,本題是一個等可能事件的概率,

試驗發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為6×6=36,

滿足條件的事件是使方程有實根,則△=b2﹣4c≥0,即

下面針對于c的取值進(jìn)行討論

當(dāng)c=1時,b=2,3,4,5,6;

當(dāng)c=2時,b=3,4,5,6;

當(dāng)c=3時,b=4,5,6;

當(dāng)c=4時,b=4,5,6;

當(dāng)c=5時,b=5,6;

當(dāng)c=6時,b=5,6,

目標(biāo)事件個數(shù)為5+4+3+3+2+2=19,

因此方程x2+bx+c=0有實根的概率為


(2)解:由題意知用隨機(jī)變量ξ表示方程x2+bx+c=0實根的個數(shù)得到ξ=0,1,2

根據(jù)第一問做出的結(jié)果得到

, , ,

∴ξ的分布列為

ξ

0

1

2

P

∴ξ的數(shù)學(xué)期望


(3)解:在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下,方程x2+bx+c=0有實根,

這是一個條件概率,

記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”為事件M,

“方程ax2+bx+c=0有實根”為事件N,

, ,


【解析】(1)由題意知,本題是一個等可能事件的概率,試驗發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為6×6,滿足條件的事件是使方程有實根,則△=b2﹣4c≥0,對于c的取值進(jìn)行列舉,得到事件數(shù),根據(jù)概率公式得到結(jié)果.(2)由題意知用隨機(jī)變量ξ表示方程x2+bx+c=0實根的個數(shù)得到ξ的可能取值0,1,2根據(jù)第一問做出的結(jié)果寫出變量對應(yīng)的概率,寫出分布列和期望.(3)在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下,方程x2+bx+c=0有實根,這是一個條件概率,做出先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的概率和先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下且方程x2+bx+c=0有實根的概率,根據(jù)條件概率的公式得到結(jié)果.
【考點精析】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識點,需要掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中,對于隨機(jī)變量X可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量的分布列:一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一個值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布,簡稱分布列才能正確解答此題.

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