Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過點(diǎn)F₁斜率為正的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且

AB

•

AF2

=O，|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差數(shù)列．
（1）求橢圓的離心率．
（2）若直線y=kx與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，求使四邊形ACBD的面積S最大的實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）首先利用橢圓定義和|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差數(shù)列，能夠得出|AB|=

4a

3

，然后|AF₁|=x，進(jìn)而表示出|AF₂|=2a-x，|BF₁|=

4a

3

-x，|BF₂|=2a-（

4a

3

-x）=

2a

3

+x；再由AB⊥AF₂利用勾股定理得出|AF₁|²+|AF₂|²=4c²，|AF₂|²+|AB|²=|BF²|²，通過整理能夠得出a²=2c²，即可求出離心率．
（2）根據(jù)（1）求得直線AB的斜率和AB的長，運(yùn)用面積公式和三點(diǎn)共線距離和最大，即可得到CD垂直于AB時(shí)，面積最大．

解答： 解：（1）由橢圓的定義得，|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，
|AB|=|AF₁|+|BF₁|，
又|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差數(shù)列，則|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，
則有|AB|=

4

3

a，
設(shè)|AF₁|=x
則|AF₂|=2a-x，|BF₁|=

4

3

a-x，|BF₂|=2a-（

4

3

a-x）=

2a

3

+x，
∵AB⊥AF₂∴|AF₁|²+|AF₂|²=4c²
|AF₂|²+|AB|²=|BF₂|²
即：

(2a-x)2+x2=4c2 (2a-x)2+( 4a 3 )2=( 2a 3 +x)2

，
解得：x=a，代入第一式，有（2a-a）²+a²=4c² 即a²=2c²
∴離心率e=

c

a

=

2

2

；
（2）由e=

2

2

可得，c=b=

2

2

a，橢圓方程設(shè)為：x²+2y²=a²，
且有|AB|=

4

3

a，且有△AF₁F₂為等腰直角三角形，
則直線AB的斜率為1，
則四邊形ACBD的面積S=

1

2

|AB|•（d₁+d₂），
其中d₁，d₂表示C，D到直線AB的距離，顯然d₁+d₂≤|CD|，
當(dāng)CD⊥AB時(shí)，面積最大，此時(shí)k=-1，
則有使四邊形ACBD的面積S最大的實(shí)數(shù)k的值為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的定義和方程、性質(zhì)以及橢圓的簡單性質(zhì)，考查三點(diǎn)共線時(shí)距離和最大，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．