【題目】如圖,已知圓O:x2+y2=1和定點(diǎn)A(2,1),由圓O外一點(diǎn)P(a,b)向圓O引切線PQ,切點(diǎn)為Q,且有|PQ|=|PA|.
(1)求a,b間的關(guān)系;
(2)求|PQ|的最小值;
(3)以P為圓心作圓,使它與圓O有公共點(diǎn),試在其中求出半徑最小的圓的方程.
【答案】(1)2a+b-3=0(2)(3)
【解析】
試題分析:(1)由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2=PA2,即 (a2+b2)﹣1=(a﹣2)2+(b﹣1)2,化簡(jiǎn)可得a,b間滿足的等量關(guān)系.
(2)由于 PQ==,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最小值.
(3)設(shè)⊙P 的半徑為R,可得|R﹣1|≤PO≤R+1.利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得OP=的最小值為,此時(shí),求得b=﹣2a+3=,R取得最小值為﹣1,從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解:(1)連接OQ,∵切點(diǎn)為Q,PQ⊥OQ,由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2.
由已知PQ=PA,可得 PQ2=PA2,即 (a2+b2)﹣1=(a﹣2)2+(b﹣1)2.
化簡(jiǎn)可得 2a+b﹣3=0.
(2)∵PQ====,
故當(dāng)a=時(shí),線段PQ取得最小值為.
(3)若以P為圓心所作的⊙P 的半徑為R,由于⊙O的半徑為1,∴|R﹣1|≤PO≤R+1.
而OP===,故當(dāng)a=時(shí),PO取得最小值為,
此時(shí),b=﹣2a+3=,R取得最小值為﹣1.
故半徑最小時(shí)⊙P 的方程為+=.
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【題目】△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是,a、b、c,△ABC的面積S= .
(Ⅰ)求A的大;
(Ⅱ)若b+c=5,a= ,求△ABC的面積的大。
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【題目】小趙和小王約定在早上7:00至7:15之間到某公交站搭乘公交車去上學(xué),已知在這段時(shí)間內(nèi),共有2班公交車到達(dá)該站,到站的時(shí)間分別為7:05,7:15,如果他們約定見車就搭乘,則小趙和小王恰好能搭乘同一班公交車去上學(xué)的概率為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知橢圓過點(diǎn),且離心率。
(1)求橢圓方程;
(2)若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且線段的垂直平分線過定點(diǎn),求的取值范圍。
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【題目】如圖,已知點(diǎn)分別是的邊的中點(diǎn),連接,現(xiàn)將沿折疊至的位置,連接.記平面與平面的交線為,二面角大小為.
(1)證明: 平面;
(2)證明:平面平面;
(3)求平面與平面所成銳二面角大小.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,定義兩點(diǎn)A(xA , yA),B(xB , yB)間的“L﹣距離”為d(A﹣B)=|xA﹣xB|+|yA﹣yB|.現(xiàn)將邊長(zhǎng)為1的正三角形按如圖所示方式放置,其中頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,記邊AB所在的直線斜率為k(0≤k≤ ),則d(B﹣C)取得最大值時(shí),邊AB所在直線的斜率為 .
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【題目】從某工廠抽取50名工人進(jìn)行調(diào)查,發(fā)現(xiàn)他們一天加工零件的個(gè)數(shù)在50至350之間,現(xiàn)按生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)將他們分成六組,第一組[50,100),第二組[100,150),第三組[150,200),第四組[200,250),第五組[250,300),第六組[300,350],相應(yīng)的樣本頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求頻率分布直方圖中x的值;
(2)設(shè)位于第六組的工人為拔尖工,位于第五組的工人為熟練工,現(xiàn)用分層抽樣的方法在這兩類工人中抽取一個(gè)容量為6的樣本,從樣本中任意取兩個(gè),求至少有一個(gè)拔尖工的概率.
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【題目】如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD中,BD是圓的直徑,AB=AC,延長(zhǎng)AD與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,作EF⊥BD于F.
(1)證明:EC=EF;
(2)如果DC= BD=3,試求DE的長(zhǎng).
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【題目】在5件產(chǎn)品中,有3件一等品和2件二等品,從中任取2件,以為概率的事件是( )
A. 恰有1件一等品 B. 至少有一件一等品
C. 至多有一件一等品 D. 都不是一等品
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