Question

已知函數(shù)f（x）=x³-2ax²+bx+c．
（Ⅰ）當(dāng)c=0時，f（x）的圖象在點（1，3）處的切線平行于直線y=x+2，求a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)f（x）無極值時，a，b要滿足什么條件？
（Ⅲ）當(dāng)a=

3

2

，b=-9時，f（x）在點A，B處有極值，O為坐標(biāo)原點，若A，B，O三點共線，求c的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)c=0時，函數(shù)f（x）=x³-2ax²+bx．依題意可得f（1）=3，f'（1）=1，即可得到a，b的值；
（Ⅱ）求出導(dǎo)數(shù)，由條件可令判別式不大于0，解出即可；
（Ⅲ）當(dāng)a=

3

2

，b=-9時時，f'（x）=3x²-6x-9，列表得到，當(dāng)x=-1時，f（x）_極大值=5+c；當(dāng)x=3時，f（x）_極小值=-27+c．又由A，B，O三點共線，
則得到k_OA=k_OB，進而得到c的值．

解答： 解：（Ⅰ） 當(dāng)c=0時，f（x）=x³-2ax²+bx．
則f'（x）=3x²-4ax+b
由于f（x）的圖象在點（1，3）處的切線平行于直線y=x+2，
可得f（1）=3，f'（1）=1，
即

3-4a+b=0 1-2a+b=3

，
解得

a=2 b=6

；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=x³-2ax²+bx+c的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-4ax+b，
當(dāng)f（x）無極值時，則判別式△≤0，即16a²-12b≤0，
故a，b要滿足4a²≤3b；
（Ⅲ）當(dāng)a=

3

2

，b=-9時，f（x）=x³-3x²-9x+c．
所以f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1）
令f'（x）=0，解得x₁=3，x₂=-1．
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	5+c	↘	-27+c	↗

所以當(dāng)x=-1時，f（x）_極大值=5+c；當(dāng)x=3時，f（x）_極小值=-27+c．
不妨設(shè)A（-1，5+c），B（3，-27+c）
因為A，B，O三點共線，所以k_OA=k_OB．
即

5+c

-1

=

c-27

3

，解得c=3．
故所求c值為3．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值的關(guān)系，屬于中檔題．