【題目】某中學(xué)長期堅持貫徹以人為本,因材施教的教育理念,每年都會在校文化節(jié)期間舉行“數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測試”和“語文素養(yǎng)能力測試”兩項測試,以給學(xué)生課外興趣學(xué)習(xí)及輔導(dǎo)提供參考依據(jù).成績分為,,,,五個等級(等級,,,,分別對應(yīng)5分,4分,3分,2分,1分).某班學(xué)生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示,其中“語文素養(yǎng)能力測試”科目的成績?yōu)?/span>的考生有3人.
(1)求該班“數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測試”的科目平均分以及“數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測試”科目成績?yōu)?/span>的人數(shù);
(2)若該班共有9人得分大于7分,其中有2人10分,3人9分,4人8分.從這9人中隨機抽取三人,設(shè)三人的成績之和為,求.
(3)從該班得分大于7分的9人中選3人即甲,乙,丙組隊參加學(xué)校內(nèi)的“數(shù)學(xué)限時解題挑戰(zhàn)賽”.規(guī)則為:每隊首先派一名隊員參加挑戰(zhàn)賽,在限定的時間,若該生解決問題,即團隊挑戰(zhàn)成功,結(jié)束挑戰(zhàn);若解決問題失敗,則派另外一名隊員上去挑戰(zhàn),直至派完隊員為止.通過訓(xùn)練,已知甲,乙,丙通過挑戰(zhàn)賽的概率分別是,,,問以怎樣的先后順序派出隊員,可使得派出隊員數(shù)目的均值達到最。浚ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)果)
【答案】(1)2.575,4;(2);(3)乙,甲,丙.
【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,直接求加權(quán)平均數(shù),再根據(jù)語文素養(yǎng)能力測試為的頻率和人數(shù)得出總?cè)藬?shù),再根據(jù)“數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測試”科目的頻率即可得解.
(1)由圖可知,數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測試為的頻率為0.1,故該班“數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測試”的科目平均分為,
語文素養(yǎng)能力測試為的頻率為0.075,故而該班有人.“數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測試”科目成績?yōu)?/span>的人數(shù)(人).
(2)依題:的取值可為29,28,27,26,25,24.
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(3)乙,甲,丙.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1是菱形,且CA=CB1.
(1)證明:面CBA1⊥面CB1A;
(2)若∠BAA1=60°,A1C=BC=BA1,求二面角C﹣A1B1﹣C1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時,求證:過原點且與曲線相切的直線有且只有一條;
(2)當(dāng)時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面PAC⊥平面ABC,是以AC為斜邊的等腰直角三角形,E,F,O分別為PA,PB,AC的中點,.
(1)設(shè)G是OC的中點,證明:∥平面;
(2)證明:在內(nèi)存在一點M,使FM⊥平面BOE,求點M到OA,OB的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定橢圓,稱圓心在原點,半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個焦點為,其短軸上的一個端點到的距離為.
(1)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程;
(2)點是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動點,過點作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點.
①當(dāng)點為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點時,求直線的方程并證明;
②求證:線段的長為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期,我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號,鼓勵學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時間之間的相關(guān)關(guān)系,對高三年級隨機選取45名學(xué)生進行跟蹤問卷,其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間不少于5小時的有19人,余下的人中,在檢測考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分的占,統(tǒng)計成績后得到如下列聯(lián)表:
分?jǐn)?shù)不少于120分 | 分?jǐn)?shù)不足120分 | 合計 | |
線上學(xué)習(xí)時間不少于5小時 | 4 | 19 | |
線上學(xué)習(xí)時間不足5小時 | |||
合計 | 45 |
(1)請完成上面列聯(lián)表;并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時間有關(guān)”;
(2)①按照分層抽樣的方法,在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生,設(shè)抽到不足120分且每周線上學(xué)習(xí)時間不足5小時的人數(shù)是,求的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);
②若將頻率視為概率,從全校高三該次檢測數(shù)學(xué)成績不少于120分的學(xué)生中隨機抽取20人,求這些人中每周線上學(xué)習(xí)時間不少于5小時的人數(shù)的期望和方差.
(下面的臨界值表供參考)
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為2,且長軸長是短軸長的倍.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過橢圓左焦點的直線交橢圓于兩點,點在軸非負(fù)半軸上,且點到坐標(biāo)原點的距離為2,求取得最大值時的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,點,()在曲線C:上,直線l過點且與垂直,垂足為P.
(Ⅰ)當(dāng)時,求在直角坐標(biāo)系下點P坐標(biāo)和l的方程;
(Ⅱ)當(dāng)M在C上運動且P在線段上時,求點P在極坐標(biāo)系下的軌跡方程.
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