Question

11．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是邊長為2的正方形且AA₁⊥底面ABCD，AA₁=4，E為BC的中點，F(xiàn)為CC₁的中點．
（1）求證：直線EF∥平面ABD₁；
（2）求三棱錐F-A₁EC₁的體積．

Answer 1

分析 （1）證明EF∥AD₁，利用線面平行的判定定理，即可證明直線EF∥平面ABD₁；
（2）三棱錐F-A₁EC₁的體積=三棱錐A₁-FEC₁的體積，求三棱錐F-A₁EC₁的體積．

解答 （1）證明：連接BC₁，則BC₁∥AD₁，
∵E為BC的中點，F(xiàn)為CC₁的中點．
∴EF∥BC₁，
∴EF∥AD₁，
∵EF?平面ABD₁，AD₁?平面ABD₁，
∴直線EF∥平面ABD₁；
（2）解：∵AA₁⊥底面ABCD，∴AA₁⊥AB，
∵AD⊥AB，AD∩AA₁=A，
∴AB⊥平面AD₁，
∵AA₁=4，AB=2
∴三棱錐F-A₁EC₁的體積=三棱錐A₁-FEC₁的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×2$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查線面平行的判定定理，考查三棱錐F-A₁EC₁的體積，正確運用線面平行的判定定理是關鍵．