Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，存在常數(shù)A，B，C使得a_n+S_n=A_n²+B_n+C對任意正整數(shù)n都成立．
（Ⅰ）若A=0，B=1，C=2，設(shè)b_n=a_n-1，求數(shù)列{nb_n}的前n項和T_n；
（Ⅱ）若C=0，{a_n}是首項為1的等差數(shù)列，設(shè)c_n=

1+ 1 an2 + 1 an+12

，數(shù)列{c_n}的前2014項和為P，求不超過P的最大整數(shù)值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）當(dāng)A=0，B=1，C=2時，a_n+S_n=n+2，從而得到a1=

3

2

，2a_n-a_n-1=1（n≥2），進(jìn)而求出bn=(

1

2

)n，由此利用錯位相減法能求出Tn=2-

2+n

2n

．
（Ⅱ） 由題意推導(dǎo)出a_n=n．

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

，由此能求出不超過P的最大整數(shù)為2014．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)A=0，B=1，C=2時，
得a_n+S_n=n+2，∴a1=

3

2

，
當(dāng)n≥2時，a_n-1+S_n-1=n-1+2，
兩式相減得2a_n-a_n-1=1（n≥2），
即2（a_n-1）=a_n-1-1（n≥2），即bn=

1

2

bn-1，
而b1=a1-1=

1

2

，
∴數(shù)列{b_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴bn=(

1

2

)n．（4分）
Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①，

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

②，
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

2+n

2n+1

，
∴Tn=2-

2+n

2n

．（8分）
（Ⅱ） 由題意可設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
則an+Sn=

d

2

n2+(a1+

d

2

)n+(a1-d)，
∵C=0，得a₁=d=1，∴a_n=n．（10分）

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n2(n+1)2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，
∴p=（1+

1

1

-

1

2

）+（1+

1

2

-

1

3

）+（1+

1

3

-

1

4

）+…+（1+

1

2014

-

1

2015

）
=2015-

1

2015

，
∴不超過P的最大整數(shù)為2014．（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，考查最大整數(shù)值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．