Question

若數(shù)列{a_n}，a₁=

2

3

，且a_n+1=a_n+

1

(n+2)(n+1)

（n∈N），則
（1）試寫出這個(gè)數(shù)列的第二、三、四項(xiàng)
（2）試猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)a_n并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：

分析：（1）利用a₁=

2

3

，且a_n+1=a_n+

1

(n+2)(n+1)

，代入計(jì)算，可得這個(gè)數(shù)列的第二、三、四項(xiàng)
（2）利用疊加法可得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a₁=

2

3

，且a_n+1=a_n+

1

(n+2)(n+1)

，
∴a₂=

5

6

，a₃=

11

12

；
（2）a_n=

7

6

-

1

n+1

．
∵a_n+1=a_n+

1

(n+2)(n+1)

，
∴a_n+1-a_n=

1

(n+2)(n+1)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=

2

3

+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=

7

6

-

1

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查疊加法的運(yùn)用，屬于中檔題．