Question

已知函數(shù)f（x）=

a•3x+a-2

3x+1

，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明．
（3）若解不等式f（x+2）+f（x-3）＜0．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意和奇函數(shù)的結(jié)論：f（0）=0列出方程求出a的值；
（2）先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再用定義證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，利用作差判斷f（x₂）與f（x₁）的大小，根據(jù)單調(diào)性的定義可作出判斷；
（3）利用函數(shù)的奇偶性將不等式f（x+2）+f（x-3）＜0轉(zhuǎn)化為f（x+2）＜-f（x-3）=f（3-x），然后利用單調(diào)性求不等式的解集．

解答： 解：（1）由題意得，奇函數(shù)f（x）的定義域是R，
∴f（0）=

a•30+a-2

30+1

=0，解得a=1，
（2）由（1）得，f(x)=

3x-1

3x+1

，
f（x）在定義域上是單調(diào)增函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=

3x2-1

3x2+1

-

3x1-1

3x1+1

=

(3x2-1)(3x1+1)-(3x1-1)(3x2+1)

(3x2+1)(3x1+1)

=

2(3x2-3x1)

(3x2+1)(3x1+1)

，
∵x₁＜x₂，且3x2＞0，3x1＞0，
∴3x2-3x1＞0，3x2+1＞0，3x1+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)；
（3））∵f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，且為奇函數(shù)，
∴原不等式f（x+2）+f（x-3）＜0等價為f（x+2）＜-f（x-3）=f（3-x），
∴x+2＜3-x，解得x＜

1

2

即不等式的解集是{x|x＜

1

2

}．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)的奇偶性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．