Question

已知f（x）=alnx+

1

2

x²-x（a∈R）
（Ⅰ）若x=2是函數(shù)f（x）的一個極值點，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）對?x∈（e，+∞），f（x）-ax＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)極值的定義，f′（2）=0，這樣便能求出a=-2，再求f′（x），根據(jù)極值的定義便可判斷該函數(shù)在x=2處取極小值，并且是最小值，求出f（2）即可．
（Ⅱ）根據(jù)已知條件，alnx+

1

2

x2-x-ax=a(lnx-x)+

1

2

x2-x＞0恒成立，因為求a的范圍，所以想著讓不等式一邊是a，因為x＞e時，lnx-x＜0，所以能得到：a＜

1 2 x2-x

x-lnx

，所以令g（x）=

1 2 x2-x

x-lnx

，所以求出g（x）的范圍即可，可通過求導數(shù)判斷單調性，根據(jù)單調性求范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

a

x

+x-1，∴f′（2）=

a

2

+2-1=0，∴a=-2；
∴f（x）=-2lnx+

1

2

x2-x，f′（x）=-

2

x

+x-1=

x2-x-2

x

=

(x+1)(x-2)

x

；
∴0＜x＜2時，f′（x）＜0；x＞2時，f′（x）＞0，∴x=2時，f（x）取最小值-2ln2．
（Ⅱ）f(x)-ax=alnx+

1

2

x2-x-ax＞0，即a(lnx-x)＞-

1

2

x2+x；
∵x＞e，∴l(xiāng)nx-x＜0，∴a＜

1 2 x2-x

x-lnx

．
設g（x）=

1 2 x2-x

x-lnx

，x∈（e，+∞）；
g′（x）=

(x-1)(x-lnx)-(1- 1 x )( 1 2 x2-x)

(x-lnx)2

=

(x-1)( 1 2 x+1-lnx)

(x-lnx)2

；
x∈（e，+∞）時，x-1＞0，令h（x）=

1

2

x+1-lnx，則：
h′（x）=

1

2

-

1

x

＞0，∴h（x）在[e，+∞）上單調遞增；
x∈（e，+∞）時，h（x）＞h（e）=

e

2

＞0；
∴g′（x）＞0；
∴g（x）在（e，+∞）上為增函數(shù)，∴g（x）＞g（e）=

e2-2e

2(e-1)

；
∴a≤

e2-2e

2(e-1)

；
∴a的取值范圍為（-∞，

e2-2e

2(e-1)

]．

點評：本題考查極值的概念，最值的概念，求最值的方法，導數(shù)符號和函數(shù)單調性的關系，由單調性求函數(shù)值的取值范圍，而得到a＜

1 2 x2-x

x-lnx

是求解本題的關鍵．