【題目】已知a∈R,f(x)=log2(1+ax).

(1)求f(x2)的值域;

(2)若關(guān)于x的方程f(x)-log2[(a-4)x2+(2a-5)x]=0的解集恰有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)當(dāng)a>0時(shí),對(duì)任意的t∈(,+∞),f(x2)在[t,t+1]的最大值與最小值的差不超過4,求a的取值范圍.

【答案】(1)當(dāng)a≥0時(shí),值域?yàn)閇0,+∞),當(dāng)a<0時(shí),值域?yàn)椋?∞,0); (2)1<a≤2,或a>4;

(3)(0,+∞).

【解析】

(1)討論a≥0時(shí),a<0時(shí),由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得值域;

(2)根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡,轉(zhuǎn)化為一元二次方程,討論a的取值范圍進(jìn)行求解即可;

(3)根據(jù)條件得到gx)=log2(1+ax2),a>0,函數(shù)gx)在區(qū)間[t,t+1]上單調(diào)遞增,gt+1)﹣gt)≤4,運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和參數(shù)分離進(jìn)行求解即可.

(1)f(x)=log2(1+ax),可得f(x2)=log2(1+ax2),

當(dāng)a≥0時(shí),1+ax2≥1,即有l(wèi)og2(1+ax2)≥0;

當(dāng)a<0時(shí),0<1+ax21,即有l(wèi)og2(1+ax20;

即有當(dāng)a≥0時(shí),f(x)的值域?yàn)閇0,+∞);

當(dāng)a<0時(shí),f(x)的值域?yàn)椋?∞,0];

(2)由f(x)-log2[(a-4)x2+(2a-5)x]=0得log2(1+ax)=log2[(a-4)x2+(2a-5)x],

即1+ax=(a-4)x2+(2a-5)x>0,①

則(a-4)x2+(a-5)x-1=0,

即(x+1)[(a-4)x-1]=0,②,

當(dāng)a=4時(shí),方程②的解為x=-1,代入①,不成立;

當(dāng)a=3時(shí),方程②的解為x=-1,代入①,不成立;

當(dāng)a≠4且a≠3時(shí),方程②的解為x=-1或x=

若x=-1是方程①的解,則1-a=-a+1>0,即a<1,

若x=是方程①的解,則1+=>0,即a>4或a<2,

則要使方程①有且僅有一個(gè)解,則a>4或1≤a<2.

綜上,若方程f(x)-log2[(a-4)x2+(2a-5)x]=0的解集中恰好有一個(gè)元素,

則a的取值范圍是1<a≤2,或a>4;

(3)當(dāng)a>0時(shí),對(duì)任意的t∈(,+∞),

f(x2)=log2(1+ax2),

設(shè)g(x)=log2(1+ax2),a>0,

函數(shù)g(x)在區(qū)間[t,t+1]上單調(diào)遞增,

由題意得g(t+1)-g(t)≤4,

即log2(1+at2+2at+a)-log2(1+at2)≤4,

即1+at2+2at+a≤16(1+at2),

即有a(15t2-2t-1)+15=a(3t-1)(5t+1)+15>0恒成立,

綜上可得a的范圍是(0,+∞).

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