Question

已知函數(shù)f(x)=alnx+

2

x

+x，其中a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：

分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再解不等式f′（x）＞0，得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，解不等式f′（x）＜0得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，最后由極值定義求得函數(shù)極值．
（2）通過已知條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立，得到a的表達式，求出a的最小值即可．

解答： 解：（1）當x=1時，f（x）=lnx+

2

x

+x，（x＞0），f′（x）=

1

x

-

2

x2

+1，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），
∴當x=1時，f（x）有極小值．
（2）由函數(shù)f（x）=alnx+

2

x

+x，得f′（x）=

a

x

-

2

x2

+1，
若函數(shù)f（x）為[1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，則f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式

a

x

-

2

x2

+1≥0在[1，+∞）上恒成立．也即a≥

2

x

-x在[1，+∞）上恒成立．
又g（x）=

2

x

-x在[1，+∞）上為減函數(shù)，g（x）_max=g（1）=1．所以a≥1．

點評：本題考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力．