Question

已知函數(shù).
（1）當時，設.討論函數(shù)的單調性；
（2）證明當.

Answer 1

（1）當時，在上是增函數(shù)；
當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).
（2）見解析.

試題分析：（1）求導數(shù)，研究導函數(shù)值的正負，確定單調區(qū)間.
由于，當時，.
所以，討論當，即時，當，即時，即得結論；
（2）構造函數(shù)，由于導數(shù)，通過確定函數(shù)的單調性及最值，達到解題目的.
由于，
所以令，再次利用導數(shù)加以研究，
當時， 在上是減函數(shù)，
當時， 在上是增函數(shù)，
又
得到當時,恒有,即,
在上為減函數(shù)，由，得證.
（1），所以．        2分
當時，，故有：
當，即時，，；
當，即時，，
令，得；令，得，        5分
綜上，當時，在上是增函數(shù)；
當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．  6分
（2）設，則，
令，則，               8分
因為，所以當時，；在上是減函數(shù)，
當時，，在上是增函數(shù)，
又所以當時,恒有,即,
所以在上為減函數(shù)，所以，
即當時，.                 13分