Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的反函數(shù)；

（2）若，求函數(shù)的值域并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）記函數(shù)，若函數(shù)的最大值為5，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f﹣1（x）＝log4（x﹣4），x＞4；（2）f（x）的值域為（4，+∞），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間為（﹣∞，+∞）；（3）（﹣∞，].

【解析】

（1）當(dāng)a＜0時，f（x）＝4x+4，即可解得f﹣1（x）＝log4（x﹣4），x＞4，

（2）設(shè)2x＝t，則f（t）＝|t2﹣5t+4|+5t，分段求出函數(shù)的值域并判斷判斷區(qū)間，

（3）記函數(shù)g（x）（0≤x≤2），設(shè)2x＝t，則1≤t≤4，g（t），分類討論，求出函數(shù)的最值即可．

（1）當(dāng)a＜0時，f（x）＝4x﹣a2x+4+a2x＝4x+4，

∴4x＝y﹣4，y＞4，

∴x＝log4（y﹣4），

∴y＝log4（x﹣4），

∴f﹣1（x）＝log4（x﹣4），x＞4

（2）當(dāng)a＝5時，f（x）＝|4x﹣52x+4|+52x，

設(shè)2x＝t，則4x﹣52x+4＝t2﹣5t+4，且，

當(dāng)t2﹣5t+4＜0時，解得1＜t＜4，

當(dāng)t2﹣5t+4≥0時，解得，

∴f（t）＝|t2﹣5t+4|+5t，

當(dāng)t≥4時，f（t）在（0，1）和（4，+∞）上單調(diào)遞增，則4＜f（t）≤5或f（t）≥20，

當(dāng)1＜t＜4時，f（t）＝﹣t2+10t﹣4＝﹣（t﹣5）2+21，

∴f（t）在（1，4）上單調(diào)遞增，

∴f（1）＜f（t）＜f（4），

∴5＜f（t）＜20，

綜上所述f（x）的值域為（4，+∞），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間為（﹣∞，+∞），

（3）記函數(shù)g（x）（0≤x≤2），

設(shè)2x＝t，則1≤t≤4，

∴g（t），

當(dāng)a≤0時，g（t），在[1，2]上單調(diào)遞減，在（2，4]上單調(diào)遞增，

∴g（t）max＝max{g（1），g（5）}

∵g（1）＝5，g（4）＝5，

∴函數(shù)g（t）的最大值為5，

即當(dāng)a≤0時，滿足函數(shù)g（x）的最大值為5，

當(dāng)a＞0時，由t2﹣at+4≥0，即a≤t，

則由（2）可得y＝t，在[1，2]上單調(diào)遞減，在（2，4]上單調(diào)遞增，

∴（t）min＝24，

∴當(dāng)0＜a≤4時，g（t），故可知滿足函數(shù)g（x）的最大值為5，

當(dāng)a＞4時，g（t），由于y＝t，在[1，2]上單調(diào)遞減，在（2，4]上單調(diào)遞增，∴t，

當(dāng)a＞5時，g（t）

∵y＝﹣（t），在[1，2]上單調(diào)遞增，在（2，4]上單調(diào)遞減，

∴ymax＝﹣（2）+2a＝﹣4+2a＞6，此時不滿足函數(shù)g（t）的最大值為5，

當(dāng)4＜a≤5時，，∴，

∴函數(shù)g（t）的最大值為，當(dāng)時，即時，滿足最大值為5，

當(dāng)a＞時，不滿足函數(shù)g（t）的最大值為5，

綜上所述當(dāng)a∈（﹣∞，]時，函數(shù)滿足函數(shù)g（x）的最大值為5.