已知：不等式（x+ay）（x+y）≥25xy對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為
 
．
考點：二維形式的柯西不等式
專題：函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用
分析：由不等式（x+ay）（x+y）≥25xy對任意正實數(shù)x，y恒成立?(
x
y
)2+(a-24)•
x
y
+a≥0，對于任意
x
y
＞0恒成立．令t=
x
y
＞0．則f（t）=t2+（a-24）t+a≥0對于任意t＞0恒成立．可得△=（a-24）2-4a≤0或
△＞0
-
a-24
2
＜0
f(0)≥0
．解出即可．
解答： 解：由不等式（x+ay）（x+y）≥25xy對任意正實數(shù)x，y恒成立，
?(
x
y
)2+(a-24)•
x
y
+a≥0，對于任意
x
y
＞0恒成立．
令t=
x
y
＞0．
∴f（t）=t2+（a-24）t+a≥0對于任意t＞0恒成立．
∴△=（a-24）2-4a≤0或
△＞0
-
a-24
2
＜0
f(0)≥0
．
解得16≤a≤36或a＞36．
∴a≥16．
因此a的最小值是16．
故答案為：16．
點評：本題考查了二次函數(shù)的單調性，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知α∈（0，
π
2
），且滿足2sin2α=cos2α-sin2α．
（1）求tanα的值；
（2）若β∈（
π
2
，π），且sinβ=
2
5
5
，求α+β

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin2x-cos2x+1，且x∈[0，2π]．
（1）求f（x）的值域；         
（2）解不等式f（x）＞0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b是大于0的常數(shù)，則當x∈R+時，函數(shù)f（x）=
(x+a)(x+b)
x
的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項之和Sn=2n-1，則它的通項公式an=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若關于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為（α，β），其中α＜0＜β，則關于x的不等式cx2-bx+a＜0的解集為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=（a2-3a+1）•ax是指數(shù)函數(shù)，則a等于
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
x
，x≥0
(
1
2
)x，x＜0
的值域為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于△ABC，有如下四個命題：
①若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形，
②若sinB=cosA，則△ABC是直角三角形，
③若
a
cos
A
2
=
b
cos
B
2
=
c
cos
C
2
，則△ABC為正三角形，
④若sin2A+sin2B+sin2C＜2，則△ABC為鈍角三角形，
⑤若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，則△ABC為正三角形．
其中正確的命題是
 
．

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