Question

【題目】已知函數(shù) ， 問(wèn)
（1）求 f x 的單調(diào)區(qū)間（2）設(shè)曲線 y = f x 與 x 軸正半軸的交點(diǎn)為,曲線在點(diǎn) P 處的切線方程為 y = ,求證:對(duì)于任意的正實(shí)數(shù) x ,都有 ∈
（1）求的單調(diào)區(qū)間
（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為,曲線在點(diǎn)處的切線方程為 ,求證:對(duì)于任意的正實(shí)數(shù) ,都有 ;
（3）若方程（為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根 且 ,求證: .

Answer 1

【答案】
（1）

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是

（2）

見(jiàn)解答

（3）

【解析】1.由 ， 可得 ， 當(dāng) ， 即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng) ， 即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ， 單調(diào)遞減區(qū)間是
2.設(shè) ， 則 ， 曲線在點(diǎn)處的切線方程為 ， 即 ， 令即則 ， 由于在單調(diào)遞減,故在單調(diào)遞減,又因?yàn)?/span> ,所以當(dāng)時(shí), ,所以當(dāng)時(shí), 所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以對(duì)任意的實(shí)數(shù), ,對(duì)于任意的正實(shí)數(shù) ,都有
3.由小題2知 ， 設(shè)方程的根為 ， 可得 ， 因?yàn)?/span>在單調(diào)遞減，又由小題2知 ， 所以 ， 類(lèi)似的，設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線為 ， 可得 ， 對(duì)任意的 ， 有即 ， 設(shè)方程的根為 ， 可得 ， 因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，且 ， 因此 ，
所以。
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義(通過(guò)圖像,我們可以看出當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即)．